Małe Pętlowe Antenny Magnetyczne

4 - Elektrycznie małe antenny - trochę teorii

(Wzory 4-1)

(Schemat 4-1)

(Wzór 4-2)

	(Wzór 4-3)
	Kalkulator

Reaktancja indukcyjna jest umownie przedstawiana jako dodatnia a pojemnościowa jako ujemna więc znoszą sie one zupełnie jeżeli są sobie równe i wypadkowa reaktacja ich szeregowego połączenia równa jest zeru w rezonansie, co upraszcza wzór na impedancję antenny do:

(Wzór 4-4)

Poza rezonansem wypadkowa reaktancja równa jest algebraicznej sumie obu reaktancji, tak że w praktyce tylko jeden (o wiekszej wartości) rodzaj reaktancji jest "widoczny".
Każda antenna drutowa w rezonansie (jak każdy obwód rezonansowy) może byc scharakteryzowana przez współczynnik dobroci Q, który dla szeregowego obwodu rezonansowego obliczyć można ze wzoru:

	(Wzór 4-5)
	Kalkulator

   gdzie:

X	–	reaktancja w obwodzie (pojemnościowa albo indukcyjna - w rezonansie obie są równe) w [W]
RP	–	rezystancja promieniowania w [W] (ze wzoru 5-1).
RS	–	suma rezystancji wszystkich strat w [W]

Ze wzoru wyraźnie wynika że obecność dużych reaktancji (w stosunku to rezystancji promieniowania i strat) jest czynnikiem powodującym istnienie tak wysokiego wspólczynnika dobroci Q.
Szerokość pasma antenny (dla 3dB spadku) jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika dobroci Q i można ją obliczyć ze wzoru:

(Wzór 4-6)

   gdzie:

f	–	jest częstotliwością i
Df	–	jest szerokością pasma, obie w takich samych jednstkach miar

H.A. Wheeler w "Fundamental Limitations of Small Antennas" (1947) i L.J.Chu w "Physical Limitations on omni-directional antennas" (1948) wykazali związek pomiędzy wymiarami antenny (w stosunku do długości fali) a minimalną teoretyczną wartością wspołczynnika dobroci Q. Ostateczna (najprostsza) wersja równania Chu-Harrington (znanego też jako Chu limit) jest:

(Wzór 4-7)

albo jego uproszczona wersja (dla bardzo małych elektrycznie antenn):

(Wzór 4-8)

   gdzie:

r	–	jest promieniem najmniejszej kuli w której rozpatrywana antenna się zmieści w [m]
k	–	jest tzw liczbą falową [1/m], odwrotnie proporcjonalną do długości fali
l	–	dlugość fali w [m]

Wzór ten nie bierze pod uwagę żadnych dodatkowych strat w strukturze antenny. To stwierdzenie jest bardzo ważne z praktycznego punktu widzenia, szczególnie w odniesieniu do małych antenn jak się to pózniej okaże.
Wyraźnie we wzorze tym widac ze pomijajac straty w antennie jedynym ograniczeniem elektrycznie małych antenn jest minimalna wartość współczynnika Q i wynikająca z niego maxymalna szerokość pasma.
Sprowadza się to do stwierdzenia że można zbudować albo pełnowymiarową antennę o niskim Q (szerokopasmową) albo małą antennę o wysokim Q (wąskopasmową), obie o takiej samej sprawności a przy tym niemożliwe jest zbudowanie małej i jednocześnie szerokopasmowej antenny przy zachowaniu takiej samej sprawności (wbrew temu co niektórzy producenci i sprzedawcy antenn probują nam czasem wcisnać).
W praktyce bardzo małe antenny cechują się ogromnymi stratami które powodują spadek sprawności antenny i jednocześnie spadek rzeczywistej wartości Q poniżej limitu Chu.
Nawet przy bardzo pobieżnej analizie wzoru L.J.Chu wyraźnie widać że nie ma w nim niczego co by stało na drodze do zbudowania sprawnej i przy tym bardzo małej antenny (przynajmniej w teorii), pod warunkiem ze straty w antennie utrzymane będą na niskim poziomie i tolerować możemy bardzo wysoką wartość współczynnika Q.
Oczywiste też jest że jedynym sposobem na zwiększenie szerokopasmowości małej antenny jest zwiększenie rezystancji strat (wzory 4-5 i 4-6) a tym samym obniżenie jej sprawności. Pomimo że wydaje się oczywiste że nikt nie ma interesu w obniżaniu sprawności antenny to jednak jest to czasem stosowane jako metoda na poszerzenie pasma.
Wzrost minimalnej teoretycznej wartości Q jest bardzo gwałtowny w miarę zmniejszania wymiarów antenny jako że, w przypadku antenn bardzo małych, jest ona proporcjonalna do trzeciej potęgi stosunku długości fali do wielkości antenny!
I rzeczywiście, MPAM są wręcz legendarne jeśli chodzi o ich wąskopasmowość.
Wysoka wartość Q może się wydawać czymś bardzo pozytywnym, ale w rzeczywistości oznacza to, poza drastycznym zawężeniem pasma, również tendencję do silnego wzrostu strat na wszelkich rezystancjach jako że wzrost wartości Q pociąga za sobą równiez i wzrost wartości prądu wielkiej częstotliwości krążącego w obwodzie rezonansowym (ktorym jest każda antenna drutowa). Bardzo duża wartość Q moze tez powodowac wrazliwość antenny na odstrajanie przez zmiany w jej otoczeniu. Innym problemem związanym z bardzo wysokim współczynnikiem Q w obwodzie rezonansowym jest istnienie bardzo wysokich napięć na podzespołach obwodu nawet przy umiarkowanych poziomach mocy. Poza nielicznymi wyjątkami z reguly chcemy aby antenna miała jak najmniejszą wartość Q.
Dokładnie taki sam problem istnieje w przypadku tak popularnego w lampowych wzmacniaczach mocy filtru p. Jego bardzo wysoka wartość Q (pod obciążeniem) pomaga w tłumieniu harmonicznych ale prowadzi także do wysokich strat i zmusza do ciągłego przestrajania przy małych nawet zmianach częstotliwości, nie wspominając juz nawet o problemach z nadmiernie wysokimi napieciami.

Co jednak z odbiorem? Wiadomo że z fizycznego punktu widzenia antenny sa calkowicie odwracalne, czyli wszystkie parametry antenny są takie same tak przy nadawaniu jak i przy odbiorze.
I tutaj znowu intuicja może podpowiadać że tak mała antenna nie może być tak skuteczna jak jej pelnowymiarowy odpowiednik już choćby tylko dlatego że z uwagi na jej bardzo małe wymiary będzie ona wystawiona na znacznie mniejsza ilość nadchodzącej energii.
Istnieje w fizyce koncept powierzchni przechwytywania antenny A_E (ang. effective capture area albo effective aperture). Dla antenn drutowych powierzchnia ta jest na ogół znacznie większa od powierzchni przekroju samej antenny i wyraża sie wzorem:

(Wzór 4-9)

   gdzie:

AE	–	powierzchnia przechwytywania antenny w [m2]
G	–	zysk antenny (wyrazony jako stosunek a nie w dBi)
l	–	długość fali w [m]

Można więc założyć że dla elektrycznie małej antenny bedzie to okręg o srednicy równej długości fali pomnożony przez zysk antenny. Zwróćmy uwage że nie ma we wzorze żadnych wymiarów antenny.
Teoretyczny zysk nieskonczenie małej antenny pętlowej w przestrzeni jest równy 1.76dBi (1.5 kiedy wyrażony jest jako stosunek). Dla porównania zysk pełnowymiarowej antenny typu dipole (tez w przestrzeni) jest równy 2.14dBi (1.64 gdy wyrażony jako stosunek), czyli tylko minimalnie wiecej.
W praktyce bliskość ziemi będzie oczywiście miala ogromny wpływ na rzeczywisty zysk obu antenn i może się on zwiększyć o dobre kilka dB.
Pamiętajmy też że teoretyczny zysk antenny nie ma nic wspólnego z jej sprawnością i zakłada ze cała moc doprowadzona do antenny wydzieli sie na jej rezystancji promieniowania. Praktyczny zysk (zmierzony) może być oczywiście mniejszy z uwagi na straty.
Jak z tego jednak wyraźnie wynika intuicja może nas tutaj bardzo zawieść i elektrycznie mała antenna... wcale nie jest taka mala.
Prosty przykład dla "niedowiarkow": długość fali stacji programu pierwszego polskiego radia jest ponad 1.3km a jednak uzyte w małych przenosnych odbiornikach magnetyczne antenny (z rdzeniem ferrytowym) są bardzo skuteczne, pomimo ze ich wymiary są typowo rzedu 0.01% długości fali!. Jest to coś nad czym zwykle się nie zastanawiamy, ale faktem jest ze mamy tutaj do czynienia z dość sprawnym odbiorem i jednocześnie elektrycznie bardzo małą antenną. Oczywiście w tym przypadku pret ferrytowy dość znacznie powiększa powierzchnie przechwytywania antenny. Nie zmienia to jednak faktu ze fizycznie jest to cały czas bardzo mala antenna.
Napięcie wielkiej częstotliwości na wyjściu elektrycznie małej antenny będzie oczywiście bardzo małe, nie zapominajmy jednak ze pojawi się to napięcie na jej bardzo małej rezystancji promieniowania. Bardzo łatwo jest wykazać matematycznie, ze niezaleznie od wymiarów antenny odebrana moc będzie zawsze taka sama (

Dla zilustrowania problemów związanych z elektrycznie małymi antennami wyobraźmy sobie dwie podobne antenny pionowe z rury miedzianej o zewnetrznej średnicy 50mm zainstalowane nad dużą poziomą powierzchnią metalową (Ground Plane) każda i użyte na 14MHz. Antenna A ma długość (wysokość) 5.06m, czyli ćwierć długości fali (z uwzględnieniem współczynnika skrócenia), antenna B ma długość 0.5m (czyli jest elektrycznie bardzo krótka).
Obliczenia wykażą że rezystancje promieniowania tych antenn będą odpowiednio: 35.9W (antenna A) i 183mW (antenna B).
Wyobraźmy sobie teraz że chcemy obciążyć obie te rezystancje mocą np 100W (czyli wypromieniować 100W). Używając prawa Ohma łatwo jest wykazać że w przypadku rezystancji A wymagany prąd wyniesie 1.669A (przy napięciu 59.9V):

(Przyklad 4-1)

a w przypadku rezystancji B odpowiednio 23.4A (przy napieciu 4.28V).

(Przyklad 4-2)

Jak z tego wynika obie antenny mogą spokojnie wypromieniować moc 100W zakładąjąc odpowiedni stosunek napięcia do prądu w rezystancji promieniowania (kwestia dopasowania). W czym w takim razie jest problem?
Uziemiona na jednym końcu antenna A (ćwierćfalowa) jest w rezonansie (jej "lustrzane odbicie" w ground plane uzupełnia brakującą drugą ćwierć) więc obie reaktancje się zniosą (X = 0W) i co pozostaje to już tylko rezystancja promieniowania i rezystancja strat połączone w szereg, czyli impedancja Z = R_P + R_S. Rezystancja strat dla takiej antenny będzie ok. 30mW (na częstotliwości 14MHz) więc nie będzie miała znaczącego wpływu na wypadkową impedancje (i sprawność) antenny. Impedancja Z będzie więc praktycznie równa rezystancji promieniowania i prawie cała moc doprowadzona do antenny zostanie wypromieniowana.
Zupełnie inaczej wygląda to w przypadku antenny B (o dlugości 0.5m). Nie będzie ona oczywiście w rezonansie i będzie miała reaktancję X = -796W (negatywna, czyli pojemnościowa), rezystancję promieniowania R_P = 183mW i rezystancję strat R_S = 3mW. Na częstotliwości 14MHz wyglądać więc będzie jak szeregowo połączone R_P = 183mW, R_S = 3mW i kondensator C = 14.3pF. Obliczona impedancja tej antenny będzie Z = 796W.
Jak z tego wyraźnie widać rezystancja promieniowania takiej antenny stanowi znikomą część jej całkowitej impedancji (ok. 0.02%). Wprawdzie możliwe jest (teoretycznie) doprowadzenie do rezystancji promieniowania wymaganego dla mocy 100W prądu 23.4A, ale wymagało by to astronomicznych napięć i mocy!. Nie zapominajmy że wszystkie elementy obwodu są połączone szeregowo i taki sam prad (aczkolwiek przesunięty w fazie) musiałby przepływać przez reaktancje 796W!
Poradzić sobie można z tą ogromną reaktancją pojemnościową przez dodanie w szereg reaktancji indukcyjnej (dodatniej) o takiej samej wartości na 14MHz i w ten sposób doprowadzenie całości do rezonansu.
Wymagana do tego indukcyjność jest 9mH (wzor 4-3). Jeśli założymy jej dobroć Q = 400 co jest wartością bardzo wysoką jak dla cewki o tak dużej indukcyjności i dla częstotliwości tak wysokiej, to jej rezystancja strat wyniesie ok. 2W (oczywiście szeregowo z rezystancją promieniowania).
Jest to znacznie mniej niż reaktancja 796W którą ta cewka zastąpiła wiec sprawność calego procesu podniesie się do kilku procent, co jest ogromnym postępem, cały czas jednak będzie to sprawność bardzo niska. W praktyce jednak nawet i taka sprawność będzie trudna do osiagnięcia, jako że typowa cewka użyta w takim zastosowaniu będzie miała Q znacznie mniejsze niż 400 (i rezystancję strat większą niz 2W).
Innym zródłem ogromnych strat będzie ground plane. Do obliczeń tych założona została duża powierzchnia metalowa (bez strat). W praktyce jednak użyta ground plane jest daleko gorsza i jej rezystancja strat może nawet dojść do dziesiątek W (szczególnie jeśli ziemia staje się jej częścią). Tak jak wszystkie inne straty jest ona również w szereg z rezystancją promieniowania.

Sumując:
W miarę zmniejszania długości (czy wysokości) krótkiej antenny drutowej jej rezystancja promieniowania zmniejsza się proporcjonalnie do kwadratu długości (czyli dość gwałtownie), jednocześnie jej rezystancja strat zmniejsza się proporcjonalnie do zmiany długości (czyli znacznie wolniej). Powoduje to szybki wzrost stosunku rezystancji strat do rezystancji promieniowania (i bardzo szybki spadek sprawności) w miarę zmniejszania się długości antenny.

Sprawność antenny obliczyć można ze wzoru (w procentach):

	(Wzór 4-10)
	Kalkulator

albo (w decybelach):

	(Wzór 4-11)
	Kalkulator

   gdzie:

h	–	sprawność w [%] albo w [dB]
RP	–	rezystancja promieniowania w [W] (ze wzoru 5-1).
RS	–	suma rezystancji wszystkich strat w [W]

Każdą więc antenne odbiorczą można przedstawić jako źródło napięcia o wielkości zależnej od wielkości i konstrukcji antenny jak również poziomu sygnału połączone w szereg z jej rezystancją promieniowania, jak również (niestety) jej rezystancją strat i reaktancją (pojemnościową albo indukcyjną).
Dla elektrycznie krótkiej antenny drutowej wartość tego napięcia jest proporcjonalna do jej długości.
Oczywiście wszystkie te zmiany długości dramatycznie odbijają sie na wypadkowej impedancji Z antenny co w praktyce wymagałoby jakiegoś ukladu dopasowującego, ale w tych rozważaniach jest to drugorzędne i zostalo zignorowane.

Bardzo obrazowo można problem bardzo małej rezystancji promieniowania zilustrować na przykładzie transformatora sieciowego. Można na nim nawinąć uzwojenie wtórne o dużej ilości zwojów i otrzymać stosunkowo wysokie napięcie, ale można też nawinąć tylko kilka zwojów znacznie grubszym przewodem i otrzymać napięcie znacznie niższe co wcale nie oznacza mniejszej mocy jako że przy niższym napięciu można otrzymać znacznie większy prad (przy tej samej wielkości transformatora). Tyle że w przypadku elektrycznie małej antenny wygląda to tak jakby uzwojenie wtórne transformatora podłączone było z użyciem bardzo długich i cienkich przewodów (ilustrujących rezystancję strat i reaktancje) uniemożliwiąjacych pełne wykorzystanie dostępnego prądu i powodujących ogromne straty. W przypadku wyzszego napięcia i niedużego prądu (długa antenna) nie stanowi to problemu, jednakże w przypadku bardzo niskiego napięcia i bardzo dużego prądu (co ilustruje elektrycznie krótką antennę) spowoduje to ogromne straty. Trick polega na wyeliminowaniu albo przynajmniej skróceniu tych "przewodów".

Jednym z rozwiązań jest MPAM.

---

1.